Sistemas de ecuaciones

Ecuación lineal con dos incógnitas


Una ecuación lineal con dos incógnitas es de la forma ax+by=c con a,b y c números reales.
La solución de la ecuación serán todos los valores de x e y que hagan que la igualdad sea cierta.


Ejemplo:  2x+3y=6.
La solución son todos los puntos de la recta 2x+3y=6

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con  dos incógnitas es de la forma:

ax+by=c

a´x+b´y=c´

con a, b,c, a´,b´c´ números reales.

La solución del sistema serán los valores de x e y que son solución de las dos ecuaciones a la vez.

Dependiendo del número de soluciones el sistema será:

Incompatible: No tiene solución.

2x+3y=2

2x+3y=7

Representando gráficamente:

Vemos que las dos rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.

Compatible: El sistema tiene solución. Si la solución es única se dice que es compatible determinado. Si tiene infinitas soluciones se dice compatible indeterminado.

2x+3y=4
5x+6y=10

Representando gráficamente:

La dos rectas se cortan en el puntos (2,0), luego el sitema tiene una única solución x=2 y=0. Es compatible determinado.

Veamos ahora el caso del sistema:

2x+y=-1

4x+2y=-2



La dos rectas son coincidentes. Por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones y es compatible indeterminado.

Metódos de resolución

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas además del método gráfico, podemos utilizar:

Sustitución

1. Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones.

2. Sustituimos la expresión obtenida en la otra. Obtenemos una ecuación de primer grado.

3. Resolvemos la ecuación resultante. Obtenemos el valor de una de las incógnitas.

4. Sustituimos el valor de dicha incógnita en la expresión obtenida en el paso 1 y así calculamos el valor de la otra.

Igualación

1. Despejamos la misma incógnita de las dos ecuaciones.

2. Igualamos ambas expresiones. Obtenemos una ecuación de primer grado.

3. Resolvemos la ecuación resultante. Obtenemos el valor de una de las incógnitas.

4. Sustituimos el valor de dicha incógnita en cualquiera de las expresiones obtenidas en el paso 1 y así calculamos el valor de la otra.

Reducción

1. Multiplicamos una o las dos ecuaciones del sistema por números adecuados de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean números opuestos.

2. Sumamos las dos ecuaciones obtenidas en el paso 1.

3.Despejamos el valor de la incógnita que nos queda.

4. Sustituimos el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones del sistema, resolvemos la ecuación resultante calculando así el valor de la otra.

Ejemplo métodos de resolución.

Para practicar resuelve los siguientes ejercicios.

 

Resolución de problemas

1. Lee el enunciado atentamente hasta entenderlo.

2. Identifica las incógnitas.

3. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo.

4. Comprueba la solución.

Puedes la resolución de un problema paso a paso en el siguiente problema

Para practicar más resuelve los siguientes problemas.

Puedes utilizar los comentarios para preguntar a tus compañeros las dudas que te vayan surgiendo  . Se trata de que os ayudeis a resolver estos problemas.