17 de enero de 2011

Estadística I


Definiciones


La Estadística es la ciencia encargada de recoger , analizar e interpretar datos relativos a un conjunto de elementos.


Población es el conjunto de elementos sobre los cuales  se va a estudiar una determinada característica.


Muestra es una parte de la población.


Variable estadística es el aspecto que se va a estudiar. Ei se puede medir se llama variable cuantitativa si no se puede medir se llama variable cualitativa.


Si la variable estadística toma un número determinado de valores se llama discreta.


Si la variable estadística toma cualquier valor entre dos valores dados se llama continua.


Tablas y gráficas estadísticas. Variable discreta


Para ordenar los datos de una variable estadística discreta, que tome pocos valores distintos, y estudiarlos más fácilmente elaboramos una tabla de frecuencias.
En una columna se colocan los valores que toma la variable en orden creciente xi .
En la siguiente columna el recuento de los datos . El número de veces que se repite un valor se llama frecuencia absoluta y se representa  ni.  
La suma de las frecuencias absolutas coincide con el número total de datos (N).    


Puede añadirse una tercera columna en la que aparezca la frecuencias relativa, fi , de cada valor que se calcula dividiendo la frecuencia absoluta de dicho valor entre el número total de datos.
La suma de las frecuencias relativas es 1.


Podemos representar los datos utilzando un diagrama de barras o un gráfico de sectores.


Diagrama de barras


En el eje OX se señalan los valores de la variable y en el eje OY los valores de la frecuencia absoluta.Se levantan barras de altura igual a la frecuencia absoluta.


Gráfico de sectores


Es el resultado de dividir un círculo en sectores circulares de ángulos  proporcionales a la frecuencia absoluta de cada valor de la variable.
Para calcular los grados de cada sector se divide la frecuencia absoluta entre el número total de datos y se multiplica por 360 (o se multiplica la frecuencia relativa por 360.


Ejemplo 1


En una población de 25 familias se ha observado la variable x=" número de coches que tiene la familia" y se han obtenido los siguientes datos:


0  1  2  3  1  0  1  1  1  4  3  2  2  1  1  2  2  1  1  1  2  1  3  2  1


a) Elabora una tabla de frecuencias absoluta y relativa.




b) Representa los datos utilizando un diagrama de barras.

c) Representa los datos utilizando un gráfico de sectores.
Parámetros estadísticos
a) Medidas de cetralización

Media:


Mediana de un conjunto ordenado de datos es aquel valor tal que la mitad de los datos son iguales o inferriores a él y la otra mitad son iguales o superiores.
Si el número de datos es pequeño los ordenamos y tomamos el valor central.
Si el número de datos e impar la mediana es el valor que ocupa el lugar central. Si es par será la media aritmética de los dos valores centrales.
Si el número de datos es grande utilizaremos la tabla de frecuencias para su cálculo.

Moda es el dato que tiene mayor frecuencia.

b) Medidas de dispersión
Rango o recorrido de un conjunto de datos es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.
Varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto de la media.




Desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Ejemplo 2
En una población de 25 familias se ha observado la variable x=" número de coches que tiene la familia" y se han obtenido los siguientes datos:


0  1  2  3  1  0  1  1  1  4  3  2  2  1  1  2  2  1  1  1  2  1  3  2  1
a) Calcula la media, la mediana y la moda.
b) Calcula el recorrido y la desviación típica.
Lo primero que haremos será completar la tabla de frecuencias que hemos construido en el ejemplo1, para simplificar los cálculos de la media y la desviación típica.


Para calcula la media : 39/25= 1,56
La mediana será el dato que una vez ordenados ocupe el lugar 13, en este caso Me=1
La moda es el valor que más se repite, en este caso Mo=1
El recorrido será 4-0=4
La varianza aplicando la fórmula:
89 _ 1,562= 0,89
                                          25
La desviación típica es la raíz de la varianza, es decir la raíz de 0,89 que es 0,94.


Aquí tienes los dos ejemplos anteriores en una hoja de cálculo



Ejercicio


La siguiente tabla contiene las notas de 30 alumnos en la materia de Matemáticas:

6   4   5   5   6   3   5   8   2   9   10   4   4   3   2   6   5   4   7   8


2   5   5   6   7   6   7   8   6   4


a) Calcula la media, la mediana, la moda, el recorrido y la desviación típica.


b) Representa los datos en un diagrama de barras y en un gráfico de sectores.


Indicaciones:
Primero resuelve la actividad en tu cuaderno.
En clase iremos al aula de informática y la resolveremos por parejas utilizando una hoja de cálculo, comprobaremos que los resultados coinciden.
Una vez acabada esta segunda parte del trabajo me lo enviais por correo electrónico : anabv71@gmail.com

Coméntame que te ha parecido la actividad.



Movimientos en el plano

Movimientos en el plano

Un movimiento en el plano es una transformación geométrica que conserva los ángulos y las distancias (forma y tamaño).
Veamos los distintos movimientos en el plano:

Traslación
Una traslación es un movimiento definido mediante un segmento orientado de longitud fija, es decir mediante un vector libre,u.
Se llama traslación de vector u a una transformación geométrica que asocia a un punto P del plano otro punto P´, de forma que el vector PP´=u

Sigue el enlace: TRASLACIÓN

Giro
Un giro es un movimiento determinado por un punto que se llama centro de giro y por un ángulo orientado.
Se llama giro de centro O y ángulo α a un movimiento que hace corresponder a un punto P un punto P´tal que d(O,P)= d(O,P´) y el ángulo (POP´)=α

Sigue el enlace:  GIRO

Simetría central
Se llama simetría central de centro O, a un movimiento que transforma un punto P en otro P´de modo que  O es el punto medio del segmento PP´.

Sigue el enlace: SIMETRÍA CENTRAL

Simetría axial
Se llama simetría axial de eje e, aun movimiento que transforma un punto P en otro P´de modo que e es la mediatriz del segmento PP .


Sigue el enlace:SIMETRÍA AXIAL
Ejercicio
Dibuja un triángulo de vértices A(0,-1) B(2,3) y C(1,5) y aplícale los siguientes movimientos:
1. Una traslación de vector u=(-2,4)
2. Un giro de centro O(3,2) y ángulo 30º.
3. Una simetría central de centro O(4,1)
4. Una simetría axial de eje e: 2x+3y=1

Para continuar vamos a ver el siguiente vídeo, en él además de repasarse los contenidos anteriores, se explican los siguientes (mosaicos):

Mosaicos

Se llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas.
Han de cumplirse dos condiciones:
      Las teselas no pueden superponerse.
      No pueden dejarse huecos sin recubrir.

Mosaicos regulares
Se construyen utilizando un único polígono regular.
Solo podremos rellenar el plano mediante triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. La causa es que en cada vértice deben confluir ángulos cuya suma sea 360º.


Mosaicos semirregulares
Se forman utilizando polígonos regulares de más de un tipo, siempre que sus lados coincidan. Se obtienen al combinar triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos, octógonos y dodecágonos.



Otros mosaicos
Se pueden construir mosaicos que rellenen el plano no necesariamente con polígonos regulares, sino utilizando otras figuras. Vamos a ver algunos ejemplos:

Hueso nazarí (Se construye a partir de un cuadrado)

Pajarita (Se construye a partir de un triángulo equilátero)


Para ver más mosaicos sigue el siguiente enlace:


Actividad
Vamos a formar grupos en clase para construir mosaicos, utilizaremos cartulinas de colores y un panel. Cada grupo elegirá de entre varias posibilidades el mosaico a construir. Una vez recortadas las teselas, formaremos el mosaico y lo pegaremos en el panel.

Comenta que te ha parecido la actividad.

Área de figuras planas

Vamos a empezar repasando el cálculo de áreas de figuras planas.

Recordamos las fórmulas:


Vamos a resolver algunos ejercicios, en los que además de utilizar estas fórmulas deberás aplicar en algún caso el teorema de Pitágoras:

1. Calcula el área de un triángulo isósceles sabiendo que sus dos lados iguales miden 5cm y el otro lado 6cm.

2. Calcula el área de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 10cm.

3. Calcula el área y el perímetro de un rombo sabiendo que su lado mide 13cm y su diagonal mayor 24 cm.

4. Calcula lo que costará sembrar de césped un jardín con forma de trapecio isósceles de bases 16m y 25m y altura 10m , si 1 m2 de césped plantado cuesta 4,80 euros. Calcula también lo que costará vallarlo, si 1 m. de valla cuesta 5,2 euros.

5. Calcula el área de un hexágono regular de lado 8cm.
6. Calcula el área de un círculo sabiendo que la longitud de la circunferencia es 10m.

7. Calcula el área de una corona circular sabiendo que el radio del círculo mayor es 5cm y la longitud de la circunferencia menor 10m.

8. Calcula el área y el perímetro de un sector circular de amplitud 50º y radio 5cm.

Las soluciones a estas actividades se darán en la próxima clase.

Después, en clase, vamos a calcular áreas un poco más complicadas utilizando la pizarra digital y la unidad didáctica de Descartes:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/areas_regiones_sombreadas/areas_intro.htm

Se trata de que todos aportéis ideas sobre la resolución de los distintos ejercicios, utilizaremos si es necesario las distintas ayudas que plantea la unidad.

Una vez encontrado el procedimiento de resolución calculareis la solución y la elegiremos de entre las que propone la unidad para ver si es correcta.

Me gustaría que me comentaseis que os ha parecido esta última clase.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.


Puedes ver  la demostración del teorema siguiendo el enlace:


Ejemplos:

Ejemplo1: Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 16 cm.

Aplicando el teorema de Pitágoras  a2=b2 +c2 siendo a la hipotenusa, b y c los catetos:

a2=122 +162

Vamos a calcular el valor de a:

a2=144 +256

a2=400

Calculando la raíz cuadrada de 400, obtenemos la medida de la hipotenusa.

a=20 cm


Ejemplo 2: Calcula la medida de un cateto de un triángulo rectángulo sabiendo que su hipotenusa mide 13cm y el otro cateto 12 cm.

Aplicando el teorema de Pitágoras  a2=b2 +c2

132=122 +c2

Vamos a calcular el valor de c:
169=144+c2 

Despejamos c2 :
169-144=c2 
  
c2=25

Calculando la raíz cuadrada de 25, obtenemos la medida del cateto.

c=5 cm

Actividades

Siendo a, b y c respectivamente la medida de la hipotenusa y de los catetos de un triángulo rectángulo, calcula en cada caso el lado que falta:

1) b= 18cm  c= 24cm
2) b= 10cm  c= 24cm
3) a= 15cm  c= 12cm
4) a= 50cm  b= 40cm

Utiliza los comentarios para contar si has tenido algún problema al resolver estas actividades, coméntame si has entendido la demostración del teorema de Pitágoras y cualquier otra cosa que te parezca interesante.

Para finalizar si quieres conocer la biografía de Pitágoras puedes hacerlo aquí.

14 de enero de 2011

Sistemas de ecuaciones

Ecuación lineal con dos incógnitas


Una ecuación lineal con dos incógnitas es de la forma ax+by=c con a,b y c números reales.
La solución de la ecuación serán todos los valores de x e y que hagan que la igualdad sea cierta.


Ejemplo:  2x+3y=6.
La solución son todos los puntos de la recta 2x+3y=6

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con  dos incógnitas es de la forma:
ax+by=c
a´x+b´y=c´
con a, b,c, a´,b´c´ números reales.


La solución del sistema serán los valores de x e y que son solución de las dos ecuaciones a la vez.

Dependiendo del número de soluciones el sistema será:

Incompatible: No tiene solución.

2x+3y=2
2x+3y=7

Representando gráficamente:



Vemos que las dos rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.


Compatible: El sistema tiene solución. Si la solución es única se dice que es compatible determinado. Si tiene infinitas soluciones se dice compatible indeterminado.

2x+3y=4
5x+6y=10
Representando gráficamente:

La dos rectas se cortan en el puntos (2,0), luego el sitema tiene una única solución x=2 y=0. Es compatible determinado.

Veamos ahora el caso del sistema:
2x+y=-1
4x+2y=-2


La dos rectas son coincidentes. Por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones y es compatible indeterminado.

Metódos de resolución

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas además del método gráfico, podemos utilizar:

Sustitución
1. Despejamos una de las incógnitas de una de las ecuaciones.
2. Sustituimos la expresión obtenida en la otra. Obtenemos una ecuación de primer grado.
3. Resolvemos la ecuación resultante. Obtenemos el valor de una de las incógnitas.
4. Sustituimos el valor de dicha incógnita en la expresión obtenida en el paso 1 y así calculamos el valor de la otra.

Igualación
1. Despejamos la misma incógnita de las dos ecuaciones.
2. Igualamos ambas expresiones. Obtenemos una ecuación de primer grado.
3. Resolvemos la ecuación resultante. Obtenemos el valor de una de las incógnitas.
4. Sustituimos el valor de dicha incógnita en cualquiera de las expresiones obtenidas en el paso 1 y así calculamos el valor de la otra.

Reducción
1. Multiplicamos una o las dos ecuaciones del sistema por números adecuados de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean números opuestos.
2. Sumamos las dos ecuaciones obtenidas en el paso 1.
3.Despejamos el valor de la incógnita que nos queda.
4. Sustituimos el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones del sistema, resolvemos la ecuación resultante calculando así el valor de la otra.


Para practicar resuelve los siguientes ejercicios.

 
Resolución de problemas

1. Lee el enunciado atentamente hasta entenderlo.

2. Identifica las incógnitas.

3. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo.

4. Comprueba la solución.

Puedes la resolución de un problema paso a paso en el siguiente problema

Para practicar más resuelve los siguientes problemas.

Puedes utilizar los comentarios para preguntar a tus compañeros las dudas que te vayan surgiendo  . Se trata de que os ayudeis a resolver estos problemas.

13 de enero de 2011

Presentación

¡Bienvenidos al blog mates 3º E.S.O.!

Entre todos, vamos a dar forma a este nuevo proyecto.
Con este blog, vamos a trabajar algunos de los contenidos de este curso. Se van a plantear actividades para trabajar en clase y actividades de refuerzo para trabajar en casa.
Os invito a participar en este blog.

¡Espero vuestros comentarios!